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En arithmétique, les nombres premiers de Pierpont — nommés ainsi d'après James Pierpont — sont les nombres premiers de la forme 2^u3^v + 1, pour u et v deux entiers naturels.

On montre facilement que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, c'est-à-dire que 2^u + 1 doit être un nombre de Fermat.

Par ailleurs, si v > 0 alors u doit être lui aussi non nul (car si v > 0 alors le nombre pair 3^v + 1 est strictement supérieur à 2 et par conséquent composé) donc le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1.

Les quinze premiers^[1] nombres de Pierpont sont 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257 et 433.

Distribution des nombres premiers de Pierpont |

Distribution des exposants des plus petits nombres de Pierpont

Andrew Gleason a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique ; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres de Mersenne premiers. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10⁶, 59 inférieurs à 10⁹, 151 inférieurs 10²⁰ et 789 inférieurs à 10¹⁰⁰ ; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.

Les nombres de Pierpont connus en tant que facteurs de nombres de Fermat |

Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncés comme tels. La table suivante^[2] donne des valeurs de m, v et u tels que

2u3v+1 est premier et divise le nombre de Fermat 22m+1.displaystyle 2^u3^v+1text est premier et divise le nombre de Fermat 2^2^m+1.

De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^{2 478 785} + 1^[3], dont la primalité fut prouvée par John B. Cosgrave (en) en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot^[4]. En 2014, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^{10 829 346} + 1^[3],[5], mais il ne fait pas partie de la liste des diviseurs connus d'un nombre de Fermat.

En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier dont le nombre de côtés est supérieur ou égal à 4 et de la forme 2^m3ⁿρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. Ces polygones réguliers sont que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle^[6]. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.

Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3 ≤ n ≤ 21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).

Notes et références |

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale de Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen p ; p+2 premier ou semi-premier équilibré (faible, fort) pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2 Sophie Germain p ; 2p + 1 premier sûr p ; (p – 1)/2 premier n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach (forte–faible) Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood (première–seconde conjecture) Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premier de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond–Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
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