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Le théorème des livres ouverts de Giroux est un pont entre la géométrie de contact et la topologie différentielle. Il fait le lien entre les structures de contact et les décompositions en livre ouvert qui, en dimension trois, sont des objets purement topologiques. En dimension trois le théorème a une démonstration purement topologique et a eu de nombreuses conséquences en topologie en basse dimension. En grandes dimensions la preuve est analytique et les conséquences sont moins nombreuses, sans doute principalement à cause du peu de connaissances sur la toile à propos des groupes de symplectomorphismes.

Définitions |

Dans toute la suite, Vdisplaystyle V désigne un variété différentielle de dimension impaire 2n+1displaystyle 2n+1 close et orientée.
Un livre ouvert de Vdisplaystyle V est un couple (K,θ)displaystyle (K,theta ) où

• 
  K⊂Vdisplaystyle Ksubset V est une sous-variété close de codimension deux à fibré normal trivial ;


• 
  θ:V∖K→S1displaystyle theta :Vsmallsetminus Kto S^1 est une fibration qui, dans un voisinage K×D2displaystyle Ktimes D^2 de K=K×0displaystyle K=Ktimes 0, coïncide avec la coordonnée angulaire sur le disque D2displaystyle D^2.

La sous-variété Kdisplaystyle K est appelée reliure du livre ouvert et l'adhérence d'une fibre de θdisplaystyle theta est appelée page du livre ouvert. L'orientation de S1displaystyle S^1 fournit une coorientation des fibres (et donc des pages) convertie en orientation par l'orientation de Vdisplaystyle V, cette orientation fournit à son tour une orientation de la reliure comme bord des pages.

Le lien avec les structures de contact est fourni par la définition suivante due à Giroux où les orientations définies plus haut servent de référence :

Une structure de contact est portée par le livre ouvert (K,θ)displaystyle (K,theta ) si elle peut être définie par une forme de contact
αdisplaystyle alpha telle que :

• 
  αdisplaystyle alpha induit sur Kdisplaystyle K une forme de contact positive ;


• 
  dαdisplaystyle mathrm d alpha induit sur chaque fibre Fdisplaystyle F de θdisplaystyle theta une forme symplectique positive.

Une telle forme αdisplaystyle alpha sera dite adaptée à (K,θ)displaystyle (K,theta ). En dimension trois, on peut exprimer cette relation en termes de champ de Reeb : la forme αdisplaystyle alpha est adaptée à (K,θ)displaystyle (K,theta ) ssi son champ de Reeb Rdisplaystyle R est positivement tangent à la reliure et positivement transverse aux fibres.


Pour établir un lien bijectif avec les structures de contact à isotopie près on doit introduire la notion de stabilisation dont on donne ici la définition en dimension trois seulement :

Soit Fdisplaystyle F une surface compacte à bord plongée dans Vdisplaystyle V et adisplaystyle a un
arc simple et propre de Fdisplaystyle F. On dit qu'une surface compacte F′displaystyle F'
est "obtenue à partir de Fdisplaystyle F par le plombage positif d'un anneau le long de adisplaystyle a" si F′=F∪Adisplaystyle F'=Fcup A , où Adisplaystyle A est un anneau plongé dans Vdisplaystyle V tel que :

• 
  A∩Fdisplaystyle Acap F est un voisinage régulier de adisplaystyle a dans Fdisplaystyle F;


• 
  Adisplaystyle A est inclus dans une boule fermée Bdisplaystyle B vérifiant B∩F=A∩Fdisplaystyle Bcap F=Acap F
  

et l'enlacement des deux composantes de bord de Adisplaystyle A dans Bdisplaystyle B vaut 1displaystyle 1.

D'après un théorème de Stallings, si Fdisplaystyle F est une page d'un livre ouvert (K,θ)displaystyle (K,theta ) et si F′displaystyle F' est obtenue à partir de Fdisplaystyle F par plombage d'un anneau, alors il existe un livre ouvert de Vdisplaystyle V dont F′displaystyle F' est une page.

On appelle "stabilisation" une suite finie de plombages positifs.

Exemples |

Dans S3⊂C2displaystyle S^3subset mathbb C ^2 muni des coordonnées polaires (z1,z2)=(r1eiθ1,r2eiθ2)displaystyle (z_1,z_2)=(r_1e^itheta _1,r_2e^itheta _2) le nœud trivial r1=0displaystyle r_1=0 est la reliure du livre ouvert dont la fibration est simplement θ1displaystyle theta _1 et dont les pages sont de disques. En projection stéréographique dans ℝ³ dont le pôle est sur la reliure, le livre ouvert devient le couple (Oz,θ)displaystyle (Oz,theta ) en coordonnées cylindriques (z,r,θ)displaystyle (z,r,theta ). On voit donc les pages d'un livre dont la reliure est infinie et qu'on a ouvert à 360°.

On peut appliquer à ce livre ouvert l'opération de plombage (positif ou négatif) et obtenir comme reliure l'entrelacs de Hopf positif ou négatif qui sont définis comme

H+=z1z2=0 displaystyle H_+=z_1z_2=0~ et H−=z1z¯2=0displaystyle H_-=z_1bar z_2=0

avec comme fibration θ=θ1±θ2displaystyle theta =theta _1pm theta _2. Les pages de ces deux livres ouverts sont des anneaux.

Les deux premiers exemples portent la structure de contact canonique sur la sphère (voir les exemples de géométrie de contact) mais celui dont la reliure est H−displaystyle H_- porte une structure de contact vrillée.

Les énoncés |

La définition de structure de contact portée par un livre ouvert permet de réinterpréter le théorème de Thurston-Winkelnkemper ainsi :

Et maintenant le théorème de Giroux :

On peut donc résumer la situation ainsi : la notion de structure de contact portée par un livre ouvert établit une bijection entre les structures de contact à isotopie près et les livres ouverts à isotopie et stabilisation près.

En grandes dimensions |

En dimension plus grandes que 5, il existe aussi des théorèmes analogues dus à Giroux et Mohsen mais qui demandent un peu plus de définitions.

Référence |

E. Giroux, « Géométrie de contact : de la dimension trois vers les dimensions supérieures », dans Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 2, p. 405-414 « math/0305129v1 », texte en accès libre, sur arXiv.

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