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En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur^[1], est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.

Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.

Définition |

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

A,B∈Cm×ndisplaystyle A,Bin mathbb C ^mtimes n

le produit de Hadamard A⋅Bdisplaystyle Acdot B est une matrice

A⋅B∈Cm×n,displaystyle Acdot Bin mathbb C ^mtimes n,

dont les coefficients sont

(A⋅B)i,j=(A)i,j×(B)i,j.displaystyle (Acdot B)_i,j=(A)_i,jtimes (B)_i,j.

Propriétés |

• Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
  
  • A⋅B=B⋅A,displaystyle Acdot B=Bcdot A,
  
  
  • A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C,displaystyle Acdot (Bcdot C)=(Acdot B)cdot C,
  
  
  • A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C.displaystyle Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.
  
  


• L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille m × n est une matrice m × n dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls^[2].


• 
  (A⋅B)T=AT⋅BTet(A⋅B)∗=A∗⋅B∗displaystyle (Acdot B)^T=A^Tcdot B^Tquad rm etquad (Acdot B)^*=A^*cdot B^*, où M^T (resp. M*) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de M. En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices n × n symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).


• Si D est diagonale alors D(A⋅B)=(DA)⋅B.displaystyle D(Acdot B)=(DA)cdot B.
  


• En notant e_j le j-ème vecteur de la base canonique de ℂⁿ et, pour tout vecteur x, D_x la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de x, on remarque que l'élément d'indice i, j du produit de Hadamard est égal au i-ème élément diagonal de AD_ejB^T :(A⋅B)i,j=(ADejBT)i,i=Tr(DeiADejBT).displaystyle (Acdot B)_i,j=(AD_e_jB^T)_i,i=mathrm Tr (D_e_iAD_e_jB^T).On en déduit immédiatement :
  
  • 
    x∗(A⋅B)y=Tr(Dx∗ADyBT)displaystyle x^*(Acdot B)y=mathrm Tr (D_x^*AD_yB^T)^[3] ;
  
  
  • la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de AB^T[4] :∑j(A⋅B)i,j=(ABT)i,i.displaystyle sum _j(Acdot B)_i,j=(AB^T)_i,i.
    
  
  
  • la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de AB^T.
  
  


• Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Théorème du produit de Schur |

Le produit de Hadamard de deux matrices n × n hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice (n × n) hermitienne positive (resp. définie positive)^[4]. C'est le théorème du produit de Schur^[2] démontré pour la première fois^[5] par Issai Schur^[6].

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

det(A⋅B)≥det(AB)displaystyle det(Acdot B)geq det(AB)^[4],[7].

Applications |

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.

Références |

• Portail de l’algèbre