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En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur^[1], est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.

Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.

Sommaire

1 Définition

2 Propriétés

3 Théorème du produit de Schur

4 Applications

5 Références

Définition |

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

displaystyle A,Bin mathbb C ^mtimes n

le produit de Hadamard $Acdot B$ est une matrice

displaystyle Acdot Bin mathbb C ^mtimes n,

dont les coefficients sont

displaystyle (Acdot B)_i,j=(A)_i,jtimes (B)_i,j.

Propriétés |

Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
- $displaystyle Acdot B=Bcdot A,$
- $displaystyle Acdot (Bcdot C)=(Acdot B)cdot C,$
- $displaystyle Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.$

L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille $m \times n$ est une matrice $m \times n$ dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls^[2].

$displaystyle (Acdot B)^T=A^Tcdot B^Tquad rm etquad (Acdot B)^*=A^*cdot B^*$ , où $M T$ (resp. $M *$ ) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de $M$ . En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices $n \times n$ symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).

Si $D$ est diagonale alors $displaystyle D(Acdot B)=(DA)cdot B.$

En notant e_j le j-ème vecteur de la base canonique de ℂⁿ et, pour tout vecteur $x$ , D_x la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de $x$ , on remarque que l'élément d'indice i, j du produit de Hadamard est égal au i-ème élément diagonal de AD_{e_j}B^T :(A⋅B)i,j=(ADejBT)i,i=Tr(DeiADejBT).displaystyle (Acdot B)_i,j=(AD_e_jB^T)_i,i=mathrm Tr (D_e_iAD_e_jB^T). $displaystyle (Acdot B)_i,j=(AD_e_jB^T)_i,i=mathrm Tr (D_e_iAD_e_jB^T).$ On en déduit immédiatement :
- $displaystyle x^*(Acdot B)y=mathrm Tr (D_x^*AD_yB^T)$ ^[3] ;
- la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de $AB T$ ^[4] : $displaystyle sum _j(Acdot B)_i,j=(AB^T)_i,i.$
- la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de $AB T$ .

Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Théorème du produit de Schur |

Article détaillé : Théorème du produit de Schur (en).

Le produit de Hadamard de deux matrices $n \times n$ hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice ( $n \times n$ ) hermitienne positive (resp. définie positive)^[4]. C'est le théorème du produit de Schur^[2] démontré pour la première fois^[5] par Issai Schur^[6].

Démonstration

Soient $A$ et $B$ deux matrices $n \times n$ hermitiennes positives. Comme $A$ et $B T$ sont hermitiennes positives, il existe des matrices $M$ et $N$ telles que $A = M * M$ et $B T = N * N$ (par exemple : leurs racines carrées).

Pour toute matrice colonne $x$ de taille n, le nombre $x *(A ∙ B) x$ est égal à la trace de
$displaystyle D_x^*AD_xB^T=(D_x^*AD_xN^*)N$
donc à celle de
$displaystyle N(D_x^*AD_xN^*)=(ND_x^*M^*)(MD_xN^*)=(MD_xN^*)^*(MD_xN^*).$
Comme cette dernière est hermitienne positive, sa trace est positive. On a donc montré que $x *(A ∙ B) x \geq 0$ pour tout $x$ , ce qui prouve que $A ∙ B$ est hermitienne positive.

Si de plus $A$ et $B$ sont inversibles alors $M$ et $N$ aussi, et le calcul ci-dessus montre alors que pour tout $x$ non nul, $x *(A ∙ B) x > 0$ , ce qui prouve que $A ∙ B$ est définie positive (un autre argument pour ce complément est l'inégalité ci-dessous).

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

displaystyle det(Acdot B)geq det(AB)

^[4]^,^[7].

Applications |

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.

Références |

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard product (matrices) » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, CUP, 1985(ISBN 978-0-521-38632-6), chap. 5.

↑ ^{a et b}(en) Elizabeth Million, « The Hadamard Product ».

↑ (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP, 1991(ISBN 978-0-521-46713-1, lire en ligne), p. 306.

↑ ^{a b et c}(en) George P. H. Styan, « Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis », Linear Algebra and its Applications, vol. 6,‎ 1973, p. 217-240 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90023-2).

↑ Horn et Johnson 1991, p. 309.

↑ (de) J. Schur, « Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen », J. reine angew. Math., vol. 140,‎ 1911, p. 1-28 (DOI 10.1515/crll.1911.140.1), p. 14, théorème VII.

↑ (en) Denis Serre, Matrices: Theory and Applications, Springer, coll. « GTM » (n^o 216), 2010(lire en ligne), p. 123.

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[1] (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, CUP, 1985(ISBN 978-0-521-38632-6), chap. 5.

[hadamardpdf1-2] {a et b}(en) Elizabeth Million, « The Hadamard Product ».

[3] (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP, 1991(ISBN 978-0-521-46713-1, lire en ligne), p. 306.

[Styan-4] {a b et c}(en) George P. H. Styan, « Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis », Linear Algebra and its Applications, vol. 6,‎ 1973, p. 217-240 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90023-2).

[5] Horn et Johnson 1991, p. 309.

[6] (de) J. Schur, « Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen », J. reine angew. Math., vol. 140,‎ 1911, p. 1-28 (DOI 10.1515/crll.1911.140.1), p. 14, théorème VII.

[7] (en) Denis Serre, Matrices: Theory and Applications, Springer, coll. « GTM » (n^o 216), 2010(lire en ligne), p. 123.

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